有限元法求解偏微分方程之FEniCS入门讲解

FEniCS入门讲解（求解泊松方程）

FEniCS是一个有限元法求解偏微分方程的开源计算平台。

• 泊松方程
• 将泊松方程转化成（弱）变分形式
• 求解微分方程边值问题（1维泊松方程）
• 求解2维泊松方程
• ParaView中查看解

泊松方程

第一个例子自然是求解著名的泊松方程。

$$\begin{gathered} -\mathrm{\Delta }u=f\text{ in }\mathrm{\Omega } \\ u{|}_{{\mathrm{\Gamma }}_D}=u_0\text{ on }{\mathrm{\Gamma }}_D \\ {\frac{\partial u}{\partial n}|}_{{\mathrm{\Gamma }}_N}=g\text{ on }{\mathrm{\Gamma }}_N=\partial \mathrm{\Omega }-{\mathrm{\Gamma }}_D \end{gathered}$$

将泊松方程转化成（弱）变分形式

首先：对泊松方程两边都乘上测试函数$v$，然后对全域$\mathrm{\Omega }$积分。

$$-{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\Delta }uvdx={\int }_{\mathrm{\Omega }}fvdx$$

这里需要说明一下试探函数和测试函数的概念。

测试函数，定义为： $$\hat{V}=\{v\in H^1(\mathrm{\Omega }):v=0\text{ on }{\mathrm{\Gamma }}_D\}$$

试探函数，定义为： $$V=\{u\in H^1(\mathrm{\Omega }):u=u_0\text{ on }{\mathrm{\Gamma }}_D\}$$

然后，对上面这个变分方程进行变换

$$\mathrm{\Delta }uv=\left(\frac{\partial }{\partial x_i}\frac{\partial }{\partial x_i}u\right)v=\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial u}{\partial x_i}v\right)-\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial u}{\partial x_i}=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }uv)-\mathrm{\nabla }u\cdot \mathrm{\nabla }v$$

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }u\cdot \mathrm{\nabla }vdx={\int }_{\mathrm{\Omega }}fvdx+{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }uv)dx$$

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }uv)dx={\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}n\cdot \mathrm{\nabla }uvds={\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}\frac{\partial u}{\partial n}vds={\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_N}gvds$$

$$\boxed{{\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }u\cdot \mathrm{\nabla }vdx={\int }_{\mathrm{\Omega }}fvdx+{\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_N}gvds}}$$

左边是双线性形式$a(u,v)$，右边是线性形式$L(v)$:

$$\begin{gathered} a(u,v)={\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }u\cdot \mathrm{\nabla }vdx \\ L(v)={\int }_{\mathrm{\Omega }}fvdx+{\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_N}gvds \end{gathered}$$

于是得到标准的变分问题：寻求$u\in V$，满足

$$a(u,v)=L(v)\mathrm{\forall }v\in \hat{V}$$

这就是和前面的泊松问题等价的变分问题。

求解微分方程边值问题（1维泊松方程）

$$\begin{gathered} -u^{″}=f \\ u(0)=0,u^{\prime }(1)=g \end{gathered}$$

有了前面的准备，现在可以写代码求解了。

第一步：为求解域创建网格，并定义函数空间

from dolfin import *

# 单元个数
nel = 20
# 左右端点
xmin = 0
xmax = 1
# 试探/测试函数的多项式阶数
p = 2

# 创建网格
mesh = IntervalMesh(nel,xmin,xmax)
# 使用连续Galerkin定义函数空间
# 每个单元上的p阶(拉格朗日)函数
V = FunctionSpace(mesh,"CG",p)

第二步：定义已提供的表达式

u0 = Constant(0)
f = Constant(-1)
g = Constant(1) 

第三步：创建和应用Dirichlet边界条件

# 定义Dirichlet边界(x = 0)
def dirichlet_boundary(x, on_boundary):
    return on_boundary and abs(x[0]) < DOLFIN_EPS
# 在点x=0施加一个Dirichlet条件
bc = DirichletBC(V,u0,dirichlet_boundary)

第四步：定义变分问题

u = TrialFunction(V)
v = TestFunction(V)

a = inner(grad(u),grad(v))*dx
L = f*v*dx+g*v*ds

第五步：求解并绘图

# 求解
u = Function(V)
solve(a == L, u, bc)

# 绘图
plot(u)

求解2维泊松方程

• $\mathrm{\Omega }=[0,1]\times [0,1]$ (一个单位矩阵)
• ${\mathrm{\Gamma }}_D=\{(0,y)\cup (1,y)\subset \partial \mathrm{\Omega }\}$(Dirichlet边界)
• ${\mathrm{\Gamma }}_N=\{(x,0)\cup (x,1)\subset \partial \mathrm{\Omega }\}$ (Neumann边界)
• $g=\sin (5x)$ (法向导数)
• $f=10\exp \{-{\displaystyle \frac{(x-0.5{)}^2+(y-0.5{)}^2}{0.02}}\}$ (源项)

类似地，也分五步求解

from dolfin import *

# 第一步：为求解域创建网格，并定义函数空间
mesh = UnitSquareMesh(32, 32)
V = FunctionSpace(mesh, "Lagrange", 1)

# 第二步：定义已提供的表达式
u0 = Constant(0.0)
f = Expression("10*exp(-(pow(x[0] - 0.5, 2) + pow(x[1] - 0.5, 2)) / 0.02)", degree=2)
g = Expression("sin(5*x[0])", degree=2)

# 第三步：创建和应用`Dirichlet`边界条件
def boundary(x):
return x[0] < DOLFIN_EPS or x[0] > 1.0 - DOLFIN_EPS
bc = DirichletBC(V, u0, boundary)

# 第四步：定义变分问题
u = TrialFunction(V)
v = TestFunction(V)
a = inner(grad(u), grad(v))*dx
L = f*v*dx + g*v*ds

# 第五步：求解并绘图

u = Function(V)
solve(a == L, u, bc)
plot(u)

ParaView中查看解

# 将解保存为VTK格式
file = File("poisson.pvd")
file << u

【结束】