从变分原理到变分方程之FEniCS求解

FEniCS系列第四讲

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从变分原理到变分方程之FEniCS求解

FEniCS系列讲座

  • 第１讲 有限元法求解偏微分方程之FEniCS入门讲解
  • 第２讲 混合形式泊松方程之FEniCS求解
  • 第３讲 非线性变分问题之FEniCS求解【上一讲】

本讲要点

  • 从变分原理到变分方程
  • 计算雅可比函数
  • 另一种求非线性变分问题的方式
  • 超弹性介质问题的求解

从变分原理到变分方程

所谓变分原理，就是可化为求泛函极值（或驻值）的问题。

对超弹性介质边界问题而言，对应的变分原理就是：总势能的最小化。

寻求超弹性介质的一个应变场\(u:\Omega\to\mathbb{R}^3\)，满足最小总势能\(\Pi\)：

\[ \min_{u\in V}\ \Pi \]

其中，\(V\)是一个适合的满足边界条件的函数空间。这个总是势能的一般表达式：

\[ \Pi = \int_\Omega \psi(u)dx - \int_\Omega B\cdot u dx - \int_{\textcolor{red}{\partial \Omega}} \textcolor{red}{T}\cdot u ds \]

其中，\(\psi\)是弹性蓄能密度，\(B\)是体元力，\(T\)是面元牵引力。

在总势能\(\Pi\)极小点，沿任意方向\(v\)的微扰\(\epsilon\)，导致的总势能变化为０，就是：

\[ F(u;v)=\left.\frac{d\Pi(u+\epsilon v)}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0}=0 \]

换句话说，寻求\(u\in V\)，满足

\[ F(u;v)=0\qquad \forall v\in \hat{V} \]

这就是上一讲，非线性变分问题的一般表述。

上一讲提到，对非线性问题而言，要用牛顿法来结果，进而就需要计算\(F\)的雅可比(矩阵或函数)，其实就是对\(F(\cdot;\cdot)\)分号前的变量求导：

\[ J(u;du,u)=\left.\frac{dF(u+\epsilon du;v)}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0} \]

但是上一讲的代码实现中，没有用到这个雅可比(矩阵或函数)，因为上一讲是通过选择“牛顿法求解器“进行求解的，而这个求解器内部就自动会计算雅可比(矩阵)。

本讲采用，主动算出雅可比(函数)的方式，作为参数提交给solve来求解非线性变分问题。

弹性蓄能密度

考虑变形梯度\(F\)：

\[ F=I+\nabla u \]

右Cauchy-Green张量\(C\)：

\[ C = F^T F \]

以及标量\(J\)和\(I_C\)：

\[ J=\det(F)\\ I_C=\mathrm{tr}(C) \]

考虑普通的neo-Hookean蓄能模型 ，我们有：

\[ \psi=\frac{\mu}{2}(I_C-3)-\mu\ln(J)+\frac{\lambda}{2}\ln(J)^2 \]

其中，\(\mu\)和\(\lambda\)是Lame参数。他们可以表示成杨氏模量\(E\) 和泊松比\(\nu\)：

\[ \lambda=\frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)},\qquad \mu=\frac{E}{2(1+\nu)} \]

域，边界，输入函数，参数设定

  • \(\Omega=(0,1)\times(0,1)\times(0,1)\)【单位立方体】
  • \(\Gamma_{D_0}=0\times(0,1)\times(0,1)\) 【第一类边界０】
  • \(\Gamma_{D_1}=1\times(0,1)\times(0,1)\) 【第一类边界１】
  • \(\Gamma_N=\partial\Omega-\Gamma_{D_0}-\Gamma_{D_1}\) 【第二类边界】
  • \(u=(0,0,0)\qquad \text{on } \Gamma_{D_0}\) 【第一类边界０的值】
  • \(\begin{aligned}u=(&0,\\ &(0.5+(y-0.5)\cos(\pi/3)-(z-0.5)\sin(\pi/3)-y)/2,\\ &(0.5+(y-0.5)\sin(\pi/3)+(z-0.5)\cos(\pi/3)-z)/2)\end{aligned} \quad \text{on }\Gamma_{D_1}\) 【第一类边界１的值】
  • \(T=(0.1,0,0) \qquad \text{on }\Gamma_N\)【第二类边界值】
  • \(B=(0,-0.5,0)\)【体元力】
  • \(E=10.0\)【杨氏模量】
  • \(\nu=0.3\)【泊松比】

FEniCS代码

为形式编译器的优化选项

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from dolfin import *
parameters["form_compiler"]["cpp_optimize"] = True 
parameters["form_compiler"]["representation"] = "uflacs"

第一步：创建网格定义函数空间

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mesh = UnitCubeMesh(24, 16, 16)
V = VectorFunctionSpace(mesh, "Lagrange", 1)

第二步：定义已提供的表达式

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c = Constant((0.0, 0.0, 0.0))
r = Expression(("scale*0.0",
               "scale*(y0 + (x[1] - y0)*cos(theta) - (x[2] - z0)*sin(theta) - x[1])",
               "scale*(z0 + (x[1] - y0)*sin(theta) + (x[2] - z0)*cos(theta) - x[2])"),
              scale = 0.5, y0 = 0.5, z0 = 0.5, theta = pi/3, degree=2)
B  = Constant((0.0, -0.5, 0.0))  # 体元力
T  = Constant((0.1, 0.0, 0.0))

第三步：创建和应用基本边界条件

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# 标记边界子域
# def left(x, on_boundary):
#    return on_boundary and near(x[0], 0.0)
#def right(x, on_boundary):
#    return on_boundary and near(x[0], 1.0)
left =  CompiledSubDomain("on_boundary && near(x[0], side)", side = 0.0)
right = CompiledSubDomain("on_boundary && near(x[0], side)", side = 1.0)
# 定义基本边界条件 (x = 0 or x = 1)
bcl = DirichletBC(V, c, left)
bcr = DirichletBC(V, r, right)
bcs = [bcl, bcr]

第四步：定义变分问题

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# 定义形式函数
du = TrialFunction(V) 
v  = TestFunction(V)
u  = Function(V) 

# 变形梯度 和 右Cauchy-Green张量
d = len(u)
I = Identity(d)
F = I + grad(u) 
C = F.T*F
# 变形张量的不变量
Ic = tr(C)
J  = det(F)
# 弹性参数
E, nu = 10.0, 0.3
mu, lmbda = Constant(E/(2*(1 + nu))), Constant(E*nu/((1 + nu)*(1 - 2*nu)))

# 应变储能密度(可压缩的neo-Hookean模型)
psi = (mu/2)*(Ic - 3) - mu*ln(J) + (lmbda/2)*(ln(J))**2

# 总势能Pi
Pi = psi*dx - dot(B, u)*dx - dot(T, u)*ds
# 计算总势能Pi的一阶变分(关于u沿v的方向导数)
F = derivative(Pi, u, v)
# 计算F的雅可比
J = derivative(F, u, du)

第五步：求解并绘图

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# 求解变分问题
solve(F == 0, u, bcs, J=J)
# 将解保存为VTK格式
file = File("displacement.pvd");
file << u;

END